Решение С6. Пример 6.

Произведение всех делителей натурального числа N оканчивается на 399 нулей. На сколько нулей может оканчиваться число N ?

Решение.

Разложим N на простые множители:

  , 

где   p — наибольший простой множитель и  

Если запись числа N оканчивается n нулями, то или   ,   

или, наоборот,  .  

Оценим количество делителей k числа N:

при этом k делится на  

1 случай.  Если k — четное, то все делители разбиваются на    пар вида     так, что произведение делителей в каждой паре равно N. Поэтому произведение всех делителей равно       

2 случай. Если k — нечетное, то k-1  делителей разбиваются на пары указанного вида, и есть еще один делитель — . И в этом случае тоже произведение всех делителей:   . Значит, для любого N произведение всех делителей оканчивается  нулями, следовательно, . При этом , откуда следует, что n - делитель числа 789, и .  

 Выпишем все такие n : 1,2,3,6,7. Из равенства   также следует, что 798 делится на  . Поэтому возможно только   и .  Для каждого из этих n подберем настоящее N. Ограничимся простыми множителями 2 и 5. Значит, нужно подобрать только  и .      

 1) , ;  ;  .  

 2)  , ;            ;  .

 3)  ,    ;           ;    .

Таким образом, для    найдены (и даже не все) N, оканчивающиеся n нулями, произведение делителей которых оканчивается 399 нулями.

Ответ: 1, 2, 6.