Решение С6. Пример 5.

  Найдутся ли хотя бы три десятизначных числа, делящиеся на 11, в записи каждого из которых использованы все цифры от 0 до 9?

Решение.

  Число делится на 11 тогда и только тогда, когда разность между суммами его цифр, стоящих на нечетных и на четных местах, делится на 11.

Запишем все цифры подряд: 9876543210.

В написанном числе указанная разность сумм равна 5. Меняя местами, например, 5 и 8, мы одну сумму увеличиваем на 3, а другую уменьшаем на 3. Значит, разность между суммами его цифр, стоящих на нечетных и на четных местах, становится равной 11.

Меняя местами, например, 4 и 7, или 3 и 6, получаем требуемые примеры.

Примечание: в задаче не требуется нахождение всех чисел, обладающих указанным свойством.

Ответ: найдутся.