ПОДГОТОВКА К ЕГЭ ПО МАТЕМАТИКЕ.

РЕШЕНИЕ ЗАДАНИЙ С2.

ПРИМЕР 11.

Основанием пирамиды SABC с высотой SH служит прямоугольный треугольник АВС с гипотенузой АВ, а двугранные углы при ребрах основания равны по  . Найдите площадь боковой поверхности пирамиды, если AH = 1 и 

Решение:  

1) Проведем апофемы SK, SM, SF.

SH – высота пирамиды SABC.

HK – проекция SK

НМ – проекция SM

HF – проекция SF

то по теореме о трех перпендикулярах

Значит двугранные углы при ребрах основания - это углы:

2) Далее получаем:

(по общему катету и острому углу  )

Следовательно, НК = НМ = HF.

Значит, точка Н – центр вписанной окружности.

Поэтому точка Н – точка пересечения биссектрис треугольника АВС.

3) Сумма острых углов в прямоугольном треугольнике равна 90^о.

А так как АН – биссектриса угла САВ и ВН – биссектриса угла СВА, то

4) Сумма углов в треугольнике равна 180^о.

5) Из треугольника АНВ по теореме косинусов находим АВ:

сos 135^о найдем по формуле приведения:

6) Найдем площадь треугольника АНВ по формуле:

Найдем sin 135^о по формуле приведения:

7) Найдем НК как высоту треугольника АНВ из формулы:

HK = r – является так же радиусом вписанной окружности треугольника АВС.

8) Так как в треугольник АВС вписана окружность, то FC = CM, KB = BM, KA = AF.

9) Найдем периметр треугольника АВС:

FCMN – квадрат, значит FC = HF

т.к. HF = HK, то

10) Из условия задачи известно, что

Значит

По основной тригонометрической формуле, находим косинус угла SKH:

11) Из прямоугольного треугольника SKH – найдем SK:

12) Площадь боковой поверхности пирамиды SABC найдем по формуле:

Все примеры решения заданий С2 >>>