Решение С6. Пример 24.

В возрастающей последовательности натуральных чисел каждые три последовательных члена образуют либо арифметическую, либо геометрическую прогрессию. Первый член последовательности равен 1, а последний 2076.

а) может ли в последовательности быть три члена?

б) может ли в последовательности быть четыре члена?

в) может ли в последовательности быть меньше 2076 членов?

Решение:

а) Нет, поскольку 1+2076 не делится на 2, а 2076 не является квадратом натурального числа.

б) Последовательность не может быть арифметической прогрессией, поскольку 2076-1 не делится на 3.

Последовательность не может быть геометрической прогрессией, поскольку 2076 не является кубом натурального числа.

Если первые три члена образуют геометрическую прогрессию, а последние три – арифметическую, то эти числа:  

, но уравнение  не имеет целых корней.

  Если первые три члена образуют арифметическую прогрессию, а последние три – геометрическую, то эти числа: 

 где  - натуральное число.

Тогда последнее число должно равняться  , но это не натуральное число.

 в) Да, например, 1, 2, 4, 6, 8,…, 2076.

Ответ: а)нет; б)нет; в)да.