Решение С6. Пример 25.

Моток веревки режут без остатка на куски длиной не меньше 99 см, но не больше 102 см (назовем такие куски стандартными).

а) Некоторый моток веревки разрезали на 33 стандартных куска, среди которых есть куски разной длины. На какое наибольшее число стандартных одинаковых кусков можно было бы разрезать тот же моток веревки?

б) найдите такое наименьшее число, что любой моток веревки, длина которого больше см, можно разрезать на стандартные куски.

Решение:

Решение каждого пункта состоит из двух частей: оценка и пример.

Рассмотрим моток веревки длиной x см. Условие того, что его можно разрезать на n стандартных кусков, записывается в виде   или 

  а) В данном случае имеем   (неравенства строгие, поскольку среди кусков есть неравные). Пусть эту веревку можно разрезать на  ,  стандартных кусков, тогда при  получаем ,  т.е. этот моток веревки нельзя разрезать больше, чем на 33 стандартных куска.

 При  получаем .  Значит, эту веревку можно разрезать на 33 одинаковых стандартных куска, но нельзя разрезать на большее количество стандартных кусков.

 б) Отрезки  и , являющиеся решением неравенств   и  , имеют общие точки для всех , при которых ,

т.е. при . 

Значит, любую верёвку длиной  или более можно разрезать на стандартные куски.

  Докажем, что верёвку, длина которой больше , но меньше , нельзя разрезать на  стандартных кусков ни для какого .

При  получаем , что противоречит условию . 

 При  получаем , что противоречит условию .

Таким образом, искомое число равно 3267.

Ответ: а) 33; б) 3267.