Решение С6. Пример 8.

  Бесконечная десятичная дробь устроена следующим образом. Перед десятичной запятой стоит нуль. После запятой подряд выписаны члены возрастающей последовательности натуральных чисел . В результате получилось рациональное число, которое выражается несократимой дробью, знаменатель которой меньше 100. Найдите наименьшее возможное значение  .

Решение: 

Очевидно,  , причем  , только если  , то есть если десятичная дробь начинается: 0,123... (четвёртая цифра не 0). 

Заметим, что таким образом начинается, например, число  

Найдем число m и проверим, удовлетворяет ли оно условиям задачи. Для этого запишем сумму подробнее.

В каждой строчке — сумма геометрической прогрессии со знаменателем   .

 Получаем:

Получается, что m — рациональное число, и оно представляется дробью со знаменателем 81, что меньше ста. Число m удовлетворяет условию задачи и для этого числа   a₃ = 3.

Ответ: 3.