Решение С6. Пример 9.

Бесконечная десятичная дробь устроена следующим образом. Перед десятичной запятой стоит нуль. После запятой подряд выписаны все целые неотрицательные степени некоторого однозначного натурального числа p. В результате получается рациональное число. Найдите это число.

Решение.            

Покажем, что p = 0,111...  

  Действительно, пусть p > 1. Предположим, что наименьший период полученного рационального числа равен T. Тогда Tk — тоже период при любом натуральном k. Пусть первый период начинается с некоторой по счету цифры, принадлежащей десятичной записи степени  . Возьмем период такой длины Tk, чтобы эта длина была больше, чем длина записи  .

 В записи числа      цифр столько же, сколько в   или на одну больше.  Аналогично,  число   длиннее чем   не более чем на две цифры, и так далее.

Значит можно найти такую степень , что  n = Tk.

Цифры числа  занимают весь период — группу длиной Tk. Тогда в записи следующего числа    первые с Tk цифры тоже образуют период и должны повторять цифры числа  .

 Получается,что либо  ,

либо ,

где a -  какое-то однозначное число.

 Последнее равенство невозможно, так как .

Следовательно, верно , откуда  p = 1. Десятичная дробь имеет вид       .

Ответ: