Решение С6. Пример 1.

Найдите все целые значения m и k такие, что     

Решение: 

Заметим, что из условия следует, что k ϵ N .

Далее имеем:

Если m = 0, то каждое из слагаемых равно 1, и при k = 2010 равенство будет верно.

Если m , то левая часть уравнения не превосходит суммы конечной геометрической прогрессии с первым членом 3^-1  и знаменателем 3-1 , сумма которой, в свою очередь, меньше суммы бесконечно убывающей прогрессии с тем же первым членом и тем же знаменателем.

В этом случае уравнение не имеет решений.

Если m > 0, то получаем:

Числа  670  и   3^m - 1  на три нацело не делятся, следовательно, m = 1 , откуда

     ^и     

Последнее уравнение натуральных решений не имеет.

Ответ: m = 0,   k = 2010.