ОЛИМПИАДНЫЕ ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ.

ГЕОМЕТРИЯ (ПЛАНИМЕТРИЯ).

9 - 11 КЛАССЫ.

ЗАДАЧА 1.

  Окружность касается другой окружности в точке А, а её хорды ВС – в точке D. Найдите радиус второй окружности, если ВС = 6 и 

Решение:

1. Проведём касательную  , общую для обеих окружностей, через точку А. Касательная  пересечёт прямую ВС в точке Е.

2. АЕ = DE (как отрезки касательных, проведённых к окружности из одной точки).

Значит треугольник DEA – равнобедренный. Следовательно,

5. Рассмотрим треугольник DAE.

По теореме о сумме углов в треугольнике (сумма углов в треугольнике равна 180^о), получаем:

Так как внешний угол треугольника равен сумме двух углов не смежных с ним, получаем:

7. Из треугольника АВС по теореме о сумме углов в треугольнике составим уравнение:

8. В треугольнике АВС известно, что

Тогда по теореме синусов найдём радиус окружности:

Рекомендуемая литература: