ПОДГОТОВКА К ЕГЭ ПО МАТЕМАТИКЕ.

РЕШЕНИЕ ЗАДАНИЙ С2.

ПРИМЕР 2.

В правильной треугольной призме АВСА₁В₁С₁, все рёбра которой равны, точка К – середина В₁С₁. Найдите угол между плоскостью АВС и плоскостью В₁КР, где точка Р – середина АА₁.

Решение:

1 способ

1. Перенесем плоскость АВС в плоскость А₁В₁С₁. Дополним плоскость В₁КР до плоскости В₁С₁Р. Тогда вместо угла между плоскостями АВС и В₁КР, будем искать угол между плоскостями А₁В₁С₁ и В₁С₁Р.

В₁С₁ – общая прямая между плоскостями А₁В₁С₁ и В₁С₁Р. Для нахождения линейного угла двугранного угла проведем перпендикуляры к прямой В₁С₁ в плоскостях А₁В₁С₁ и В₁С₁Р.

2. Треугольник В₁С₁Р – равнобедренный, т.к. РВ₁=РС₁ (из равенства треугольников РА₁В₁ и РА₁С₁ (т.к. А₁В₁ = А₁С₁, а Р₁А – общий катет)).

Значит, РК – высота и медиана треугольника В₁С₁Р.

3. Треугольник А₁В₁С₁ – равносторонний (т.к. призма правильная).

Значит, А₁К – высота и медиана треугольника А₁В₁С₁.

4.  – линейный угол двугранного угла А₁В₁С₁Р.

Значит,  – искомый угол.

5. Пусть А₁С₁ = а.

Ответ: 30^о.

2 способ

1. Плоскость А₁В₁С₁ имеет уравнение y = 0 или 0x + 1y + 0z = 0.

2. Составим уравнение плоскости В₁С₁Р в отрезках.

Плоскость В₁С₁Р пересекает ось x в точке В₁. То есть x = a.

А ось y она пересекает в точке Р. Значит,  .

Ось z плоскость В₁С₁Р пересекает в точке Е. Значение z в точке Е найдём из треугольника А₁В₁Е.

Значит  в точке Е.

Тогда уравнение плоскости В₁С₁Р в отрезках выглядит следующим образом:

3. Угол между плоскостями А₁В₁С₁ и В₁С₁Р (обозначим его  ) найдём по формуле:

Ответ: 30^о.

Все задачи С2 с решениями >>>