Решение С6. Пример 20.

На доске написано более 42, но менее 56 целых чисел. Среднее арифметическое этих чисел равно 4, среднее арифметическое всех положительных из них равно 14, а среднее арифметическое всех отрицательных из них равно -7 .

а) Сколько чисел написано на доске?

б) Каких чисел написано больше: положительных или отрицательных?

в) Какое наибольшее количество отрицательных чисел может быть среди них?

Решение:

Пусть среди написанных чисел   положительных,  отрицательных и  нулей.   Сумма набора чисел равна количеству чисел в этом наборе, умноженному на его среднее арифметическое, поэтому  .

  а) Заметим, что в левой части каждое слагаемое делится на 7, поэтому   -  количество целых чисел — делится на 7. По условию , поэтому .

 Таким образом, написано 49 чисел.

б) Приведём равенство  к виду  .

 Так как  , получаем, что , откуда . 

Следовательно, положительных чисел больше, чем отрицательных.

в) Подставим  в правую часть равенства  ;

 , откуда .

 Так как , получаем:  , , .

То есть отрицательных чисел не более 22.

Приведём пример, когда отрицательных чисел ровно 22.

 Пусть на доске 25 раз написано число 14, 22 раза написано число -7 и два раза написан 0.

Тогда ,  удовлетворяет всем условиям задачи.

Ответ: а) 49; б) положительных; в) 22.