ПЛАНИМЕТРИЯ.

РЕШЕНИЕ С4 (ЕГЭ ПО МАТЕМАТИКЕ).

ЗАДАЧА 2.

В трапеции АВСD основание AD вдвое больше основания BC, угол А равен  , угол D равен  . На диагоналях трапеции как на диаметрах построены окружности, пересекающиеся в точках M и N. Хорда MN пересекает основание AD в точке Е. Найдите отношение 

Решение:

1. Пусть окружность с диаметром BD пересекает основание AD трапеции ABCD в точке P, а окружность с диаметром AC – в точке K.

(т.к. вписанный угол, опирающийся на диаметр равен 90^◦)

Значит, BP и CK – высоты трапеции.

Пусть BP = CK =h.

2. Рассмотрим  – прямоугольный.

3. По теореме о произведениях отрезков пересекающихся хорд:

Из этих двух равенств получаем, что:

Подставим найденные значения ED и AE в выражение (1):

Раскроем скобки и приведем подобные:

Выразим РЕ из данного выражения:

4. Найдём отношение АЕ / ЕD: