Математика для экономистов: Линейная алгебра. Курс лекций.  Малугин В.А.

СОДЕРЖАНИЕ
Предисловие 9
ГЛАВА 1. МАТРИЧНАЯ АЛГЕБРА 11
§1.1. Матрицы 11
Основные сведения о матрицах 11
Виды матриц 12
§1.2. Операции над матрицами 14
Умножение числа на матрицу 14
Сложение матриц одинакового размера 14
Вычитание матриц одинакового размера 14
Умножение матрицы на матрицу 15
Возведение матрицы в целую положительную степень 16
Транспонирование матрицы 16
Свойства транспонирования матрицы 17
§1.3. Определители квадратных матриц 17
Введение определителя 17
Свойства определителей : 22
Вычисление определителя 26
§1.4. Обратная матрица 28
Теорема о существовании обратной матрицы 28
Свойства обратных матриц 30
§ 1.5. Матрицы элементарных преобразований 33
Типы матриц элементарных преобразований 33
Элементарные преобразования матрицы 34
Способ построения обратной матрицы 39
§ 1.6. Ранг матрицы 41
Определение ранга матрицы 41
Ранг матрицы при элементарных преобразованиях 43
Линейные комбинации строк или столбцов 45
Связь ранга с числом независимых строк (столбцов) 47
Строка матрицы как линейная комбинация независимых строк матрицы 48
Вопросы для повторения 49
ГЛАВА2. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ 51
§2.1. Общие понятия системы линейных уравнений 51
§2.2. Нахождение единственного решения системы линейных уравнений 52
Метод обратной матрицы 52
Метод с использованием расширенной матрицы 54
Метод с использованием формул Крамера 55
§ 2.3. Общий подход к решению систем уравнений 58
Равносильность систем линейных уравнений при элементарных преобразованиях 58
Метод Гаусса 59
Теорема Кронекера — Капелли 63
Схема решений системы уравнений 64
§ 2.4. Базисные решения системы уравнений 65
§ 2.5. Однородные системы линейных уравнений 66
Свойства однородной системы линейных уравнений 67
Фундаментальные решения 68
§ 2.6. Общее решение системы неоднородных линейных уравнений 73
§ 2.7. Модель Леонтьева многоотраслевой экономики 75
Вопросы для повторения 78
ГЛАВА 3. ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА 80
§ 3.1. Векторы на плоскости и в пространстве (геометрические векторы) 80
Линейные операции над векторами 81
Координаты вектора 82
Скалярное произведение векторов 82
Свойства скалярного произведения 84
Векторы в трехмерном пространстве 84
§ 3.2. Линейные векторные пространства 86
Понятие линейного векторного пространства 86
Вектор в n-мерном пространстве 87
Линейная зависимость и независимость векторов 88
Свойства линейной зависимости векторов 89
§ 3.3. Размерность. Базис векторного пространства 91
Размерность векторного пространства 91
Базис векторного пространства 92
Разложение вектора по базису 93
Дополнение до базиса 96
§ 3.4. Переход к новому базису 99
Матрица перехода к новому базису 99
Свойства матрицы перехода 100
§ 3.5. Линейные подпространства 102
Линейные подпространства 102
Сумма и пересечение линейных подпространств 103
Свойства суммы и пересечения подпространств 104
Линейная оболочка 104
Свойства линейной оболочки 105
§ З.6. Евклидовы пространства 105
Евклидовы пространства 105
Свойства длины вектора 107
Ортонормированная система векторов 108
Ортогональное дополнение 112
Свойства ортогонального дополнения 113
Вопросы для повторения 116
ГЛАВА 4. ЛИНЕЙНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ.  117
§ 4.1. Общие сведения о линейных отображениях 117
Отображения 117
Образ, ранг, ядро, дефект отображения 118
Отображение базиса 119
§ 4.2. Линейные операторы 121
Линейные операторы и их свойства 121
Структура линейного оператора 122
Матрицы оператора в разных базисах 125
Определитель оператора в разных базисах 126
§ 4.3. Собственные векторы и собственные значения линейного оператора 127
Собственные векторы и собственные значения 127
Независимость собственных векторов 129
§ 4.4. Симметричный оператор 131
Симметричный оператор 131
Ортогональность собственных векторов 132
§ 4.5. Квадратичные формы 133
Понятие квадратичной формы 133
Связь между квадратичной формой и оператором 136
Приведение квадратичной формы к каноническому виду . 137
Свойства канонических форм 139
Критерий Сильвестра 140
Вопросы для повторения 145
ГЛАВА 5. ВЕКТОРНЫЕ ФУНКЦИИ 146
§ 5.1. Векторные функции скалярного аргумента 146
Определение векторной функции скалярного аргумента 146
Предел и непрерывность векторной функции скалярного аргумента 147
Дифференцирование векторной функции скалярного аргумента 148
Свойства производной векторной функции скалярного аргумента 149
Правила дифференцирования векторной функции скалярного аргумента 149
§ 5.2. Векторные функции векторного аргумента 150
Определение векторной функции векторного аргумента 150
Потенциальное поле вектора 152
Дифференцирование векторной функции векторного аргумента 155
Вопросы для повторения 156
ГЛАВА 6. КЛАССИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ ОПТИМИЗАЦИИ 157
§ 6.1. Локальный экстремум 157
Определение локального экстремума 157
Необходимые условия локального экстремума 158
Достаточные условия локального экстремума 161
Использование квадратичных форм 163
§ 6.2. Условный экстремум 168
Определение условного экстремума 168
Первый метод нахождения условного экстремума 170
Второй метод нахождения условного экстремума (метод Лагранжа) 173
Геометрическая интерпретация необходимых условий для условного экстремума 174
Окаймленный гессиан 175
Последовательность действий при отыскании условных экстремумов функции двух переменных 178
§ 6.3. Экстремум неявной функции 183
§ 6.4. Глобальный экстремум 187
§ 6.5. Экстремум в системах функций 190
§ 6.6. Экстремум в системах неравенств 194
§ 6.7. Оптимизация потребительского поведения (функция спроса) 198
§ 6.8. Максимизация прибыли в проектном анализе 200
§ 6.9. Глобальный экстремум в задачах математического программирования 206
Вопросы для повторения 210
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 211
ТЕМАТИЧЕСКИЙ УКАЗАТЕЛЬ 212