Дифференциальные уравнения.  Виленкин Н.Я., Доброхотова М.А., Сафонов А.Н.

ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие 3. 
Введение 5 
Глава 1. Дифференциальные уравнения первого порядка и понижение порядка уравнений высшего порядка .... 15 
§ 1. Интегрирование некоторых видов дифференциальных уравнений первого порядка v » 15 
1. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными 15 
2. Линейные уравнения первого порядка 22 
3. Однородные уравнения 27 
4. Уравнения в полных дифференциалах 30 
5. Определение типа дифференциального уравнения. 32 
Вопросы для самопроверки 33 
Упражнения 34 
§ 2. Решение физических и геометрических задач с помощью дифференциальных уравнений 37» 
1. Математическое моделирование 37 
2. Составление дифференциального уравнения по условию физической задачи 38 
3. Решение геометрических задач с помощью дифференциальных уравнений 48 
4. Дифференциальное уравнение семейства кривых. Ортогональные траектории 50 
5. Решение задач с помощью интегральных уравнений 55 
Упражнения 57 
§ 3. Решение некоторых видов дифференциальных уравнений высшего порядка 60 
1. Понижение порядка дифференциального уравнения. 60 
2. Системы дифференциальных уравнений 69 
Вопросы для самопроверки 4 70 
Упражнения 70 
Глава II. Теоремы существования и единственности решений дифференциальных уравнений 72 
§ 1. Геометрический смысл дифференциальных уравнений первого порядка и систем таких уравнений 72 
1. Поле направлений 72 
2. Поле направлений и дифференциальные уравнения. 74 
3. Особые точки , 77 
Вопросы для самопроверки 78 
Упражнения 78 
§ 2. Теоремы существования и единственности 79 
1. Теорема существования и единственности решения дифференциального уравнения у' = f (х, у) 79 
2. Теорема существования и единственности решений дифференциальных уравнений высшего порядка ... 82 
3. Дифференциальные уравнения и степенные ряды. 83 
4. Приближенное решение дифференциальных уравнений 86 
Вопросы для самопроверки . . 88 
Упражнения 89 
§ 3. Общее, частное и особое решения дифференциального уравнения 90 
1. Общее и частное решения дифференциального уравнения 90 
2. Особые точки и особые решения дифференциального уравнения у' = / (*, у) 93 
3. Огибающая семейства плоских кривых 96 
4. Уравнение Клеро 99 
Вопросы для самопроверки 101 
Упражнения 101 
Глава III. Линейные дифференциальные уравнения высшего порядка 104 
§ 1. Линейные дифференциальные уравнения высшего порядка с переменными коэффициентами 104 
1. Линеаризация уравнений и систем уравнений ... 104 
2. Теорема существования и единственности решения линейных дифференциальных уравнений высшего порядка и систем линейных дифференциальных уравнений 105 
3. Линейные -дифференциальные операторы и их свойства 108 
4. Общее решение однородного линейного дифференциального уравнения 111 
5. Определитель Вронского 114 
6. Составление уравнения по фундаментальной системе решений 116 
7. Формула Остроградского 118 
8. Общее решение неоднородного линейного дифференциального уравнения n-го порядка , 120 
9. Метод вариации произвольных постоянных 121 
Вопросы для самопроверки 124 
Упражнения 125 
§ 2. Линейные дифференциальные уравнения высшего порядка с постоянными коэффициентами 127 
1. Алгебра дифференциальных операторов. Характеристический многочлен 127 
2. Общее решение однородного линейного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами. 129 
3. Решение неоднородного линейного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами (специальный случай) 134 
4. Решение неоднородных линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами (случай резонанса) 137 
5. Решение неоднородных линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами (специальные случаи, окончание) , 140 
Вопросы для самопроверки146 
Упражнения 146 
§ 3. Свободные и вынужденные колебания. Резонанс 147 
1. Колебания под действием упругой силы пружины 147 
Вопросы для самопроверки 156 
Упражнения ,157 
§ 4. Некоторые уравнения математической физики 157 
1. Введение 157 
2. Вывод уравнения колебаний струны 159 
3. Решение уравнения колебаний струны методом Даламбера 162 
Ответы 167