Пособие по геометрии для подготовительных курсов (стереометрия). Прокофьев А.А.

Содержание

ГЛАВА 1. Введение в стереометрию………………………….…….4
§1.1. Основные понятия………………………………………..…………...4
§1.2. Аксиомы стереометрии. Следствия из аксиом……………………...5
Аксиоматика А. В. Погорелова (5); Аксиоматика Л. С. Атанасяна (7)
ГЛАВА 2. Взаимное расположение прямых и плоскостей в пространстве   8 
§2.1. Взаимное расположение двух прямых в пространстве…………….8 
§2.2. Взаимное расположение прямой и плоскости……………….…….10

Параллельность прямой и плоскости (10); Перпендикуляр и наклонная к плоскости (11); Угол между прямой и плоскостью (12); Связь параллельности и перпендикулярности прямой и плоскости (13); Расстояния между объектами в пространстве (14). 
§2.3. Взаимное расположение двух плоскостей в пространстве….……17

Параллельные плоскости (17); Двугранные углы и перпендикулярные плоскости (18); Перпендикулярные плоскости (20). 
§2.4. Параллельное проектирование……………………………………...21

Основные свойства параллельного проектирования (22); Изображение различных фигур в параллельной проекции (23) 
§ 2.5. Чертеж в стереометрической задаче и задачи на построение в стереометрии……………………………………………………………..27
Построения в стереометрии (27). 
§2.6. Примеры решения задач по вычислению углов между скрещивающимися прямыми, прямой и плоскостью, плоскостями.…………...35

Вычисление угла между скрещивающимися прямыми (35); Вычисление угла между прямой и плоскостью (38); Вычисление угла между плоскостями (41). 
§2.7. Применение различных методов для решения задач по вычислению расстояния между скрещивающимися прямыми, параллельными прямой и плоскостью, параллельными плоскостями ……….………….47

Расстояние между параллельными прямой и плоскостью (47); Расстояние между скрещивающимися прямыми (48). 
Глава 3. Построения в пространстве……………………………...53

§3.1. Построение плоских сечений многогранников……………………53

Метод следов (58); Метод внутреннего проектирования (61); Метод переноса секущей плоскости (63). 
§3.2. Вычисление площади сечения……………………………………...64 
§3.3. Геометрические места в пространстве……………………………..67 
Глава 4. Многогранники……………………………………….…….70 
§4.1. Призма и параллелепипед…………………………………………...70
Призма (70); Параллелепипед (71); Поверхность призмы и параллелепипеда (71); Объем призмы и параллелепипеда (72). 
§4.2. Пирамида……………………………………………………….…….76
Высота пирамиды (80).

§4.3. Правильная пирамида……………………………………………….81

Соотношения между углами в правильной пирамиде (81); Вычисление объема правильной пирамиды (83); Вычисление площади боковой поверхности правильной пирамиды (84)

§4.4. Усеченная пирамида………………………………………………...85 
§4.5. Многогранники. Подобие многогранников..………………………88 
§4.6. Многогранные углы…………………………………………………90 
§4.7. Соотношение между основными элементами трехгранного угла..94

«Теорема косинусов» для трехгранного угла (94); «Теорема синусов» для трехгранного угла (95).

Глава 5. Круглые тела……………………………………………….100 
§5.1. Цилиндр……………………………………………………….…….100 
§5.2. Конус………………………………………………………………...105 
§5.3. Усеченный конус………….………………………………….…….110 
§5.4. Сфера и шар………………………………………………………...116

Поверхность и объем шара и его частей (118); Объем тела вращения (119); Описанные шары (123); Вписанные шары (125) 
Глава 6. Векторный и координатный методы ………………..133 
§6.1. Векторный метод…………………………………………………..133
Скалярное произведение векторов (135); Проекция вектора (136); 
§6.2. Метод координат…………………………………………………...137 Деление отрезка в данном отношении (139); Уравнения плоскости (140); Уравнения прямой в пространстве (140); Расстояния и углы (141); Уравнение сферы (148).
Глава 7. Задачи по определению наибольших и наименьших значений .150
Задачи для самостоятельного решения………………………....153
§1. Прямые и плоскости в пространстве………………………….…….154
Принадлежность прямой плоскости (154); Параллельность прямых, прямой
и плоскости, плоскостей (155); Скрещивающиеся прямые (156); Перпендикулярность прямой и плоскости; плоскостей (157).
§2. Углы между прямыми в пространстве, прямой и плоскостью,
между плоскостями……..………………………………..…….…….159

Угол между прямыми в пространстве (159); Угол между прямой и плоскостью (160); Угол между плоскостями (161). 
§3. Расстояние между объектами в пространстве………..…………….162
Расстояние между точками, от точки до прямой или плоскости (162); Расстояние между скрещивающимися прямыми (163). 
§4. Построения в пространстве……………………………..…………...166

Построение точки пересечения прямой и плоскости (166); Построение прямой пересечения плоскостей (166); Построения на изображениях (167); Построение плоских сечений многогранников (168); Задачи на построения в пространстве (170). 
§5. Геометрические места в пространстве……………………………...171 
§6. Призма………………………………………………………...………174
Куб и прямоугольный параллелепипед (174); Призма (176).
§7. Пирамида……………………………………………………………..179

Правильная пирамида (179); Произвольная пирамида (180); Усеченная пирамида (183); Трехгранный угол (184). 
§8. Круглые тела (цилиндр и конус)……………………………….……186

Цилиндр (186); Конус (187); Усеченный конус (190); Цилиндр и конус (191); Тела вращения (191). 
§9. Круглые тела (сфера и шар)…………………………………….……192

Сечение шара и сферы плоскостью (192); Шары и сферы, касающиеся плоскости или вписанные в двугранный угол. Касание шаров и сфер (193); Комбинации шара с многогранниками (195); Полушар (199); Конус и цилиндр (200); Усеченный конус (202); Части сферы и шара (203). 
§10. Задачи на экстремальные значения……………………………..…204

Задачи, решаемые геометрическими способами (204); Задачи, решаемые с использованием производной (205). 
§11. Элементы аналитической геометрии и векторной алгебры в пространстве. Метод координат в пространстве…207

Векторы: сложение и умножение на число (207); Прямоугольная система координат (208); Скалярное произведение векторов (209); Уравнение плоскости (212); Уравнение прямой в пространстве (214); Прямая и плоскость в пространстве (214); Уравнение сферы (215). Ответы и указания……………………………………………...…….217