Алгебра. Углубленный курс с решениями и указаниями (ЕГЭ, олимпиады, экзамены в вуз) Золотарева Н.Д., Попов Ю.А. и др.
ОГЛАВЛЕНИЕ От редактора 6
Предисловие 7
Часть I: Теория и задачи 9
1. Элементы теории чисел 9 1.1. Целые числа. Делимость и остатки 9
1.2. Уравнения в целых числах 11
1.3. Смешанные задачи на целые числа 14
1.4. Рациональные и иррациональные числа 17
1.5. Сравнение чисел 19
2. Тригонометрические неравенства, обратные тригонометрические функции 23 2.1. Основные свойства арксинуса, арккосинуса, арктангенса и арккотангенса. Преобразование выражении с обратными тригонометрическими функциями 23
2.2. Уравнения и неравенства с обратными тригонометрическими функциями 27
2.3. Отбор решений в тригонометрических уравнениях. Тригонометрические неравенства 30
2.4. Смешанные задачи 33
3. Полезные преобразования и замены переменных 34 3.1. Использование формул сокращённого умножения, выделение полного квадрата 34
3.2. Замены переменных в рациональных уравнениях, неравенствах и системах 39
3.3. Замены переменных в иррациональных уравнениях, неравенствах и системах 42
3.4. Замены переменных в показательных и логарифмических уравнениях, неравенствах и системах 46
3.5. Замены в тригонометрических уравнениях и тригонометрические замены 50
4. Нестандартные текстовые задачи 53 4.1. Недоопределённые задачи 53
4.2. Неравенства в текстовых задачах 56
4.3. Оптимальный выбор, наибольшие и наименьшие значения . . 59
5. Использование свойств квадратного трёхчлена в задачах с параметрами 63 5.1. Исследование свойств квадратичной функции в зависимости от значений параметра. Теорема Виета 63
5.2. Теоремы о расположении корней квадратного трёхчлена на числовой оси 67
5.3. Смешанные задачи 73
6. Использование различных свойств функций и применение графических иллюстраций 75 6.1. Область определения функции, монотонность, периодичность, чётность и нечётность 75
6.2. Множество значений функции, промежутки знакопостоянства и монотонности 78
6.3. Функциональные уравнения и неравенства 83
6.4. Использование графических иллюстраций 89
7. Метод оценок 95 7.1. Рациональные и иррациональные уравнения и неравенства . . 95
7.2. Тригонометрические уравнения и неравенства 98
7.3. Уравнения и неравенства с логарифмическими и показательными функциями 104
8. Задачи на доказательство 106 8.1. Тригонометрические задачи на доказательство 106
8.2. Метод математической индукции 109
8.3. Доказательство неравенств и тождеств 111
9. Использование особенностей условия задачи 114 9.1. Оптимизация процесса решения, введение функций, искусственное введение параметров, смена ролей параметра и переменной 114
9.2. Чётность и симметричность по нескольким переменным, исследование единственности решения, необходимые и достаточные условия 118
9.3. Редукция задачи и переформулирование условия 123
9.4. Смешанные задачи 127
Часть II: Указания и решения 131
1. Элементы теории чисел 131 1.1. Целые числа. Делимость и остатки 131
1.2. Уравнения в целых числах 138
1.3. Смешанные задачи на целые числа 146
1.4. Рациональные и иррациональные числа 154
1.5. Сравнение чисел 159
2. Тригонометрические неравенства, обратные тригонометрические функции 169 2.1. Основные свойства арксинуса, арккосинуса, арктангенса и арккотангенса. Преобразование выражений с обратными тригонометрическими функциями 169
2.2. Уравнения и неравенства с обратными тригонометрическими функциями 180
2.3. Отбор решений в тригонометрических уравнениях. Тригоно¬метрические неравенства 191
2.4. Смешанные задачи 202
3. Полезные преобразования и замены переменных 218 3.1. Использование формул сокращённого умножения, выделение полного квадрата 218
3.2. Замены переменных в рациональных уравнениях, неравенствах и системах 236
3.3. Замены переменных в иррациональных уравнениях, неравенствах и системах 245
3.4. Замены переменных в показательных и логарифмических уравнениях, неравенствах и системах 259
3.5. Замены в тригонометрических уравнениях и тригонометрические замены 276
4. Нестандартные текстовые задачи 284 4.1. Недоопределённые задачи 284
4.2. Неравенства в текстовых задачах 293
4.3. Оптимальный выбор, наибольшие и наименьшие значения . . 300
5. Использование свойств квадратного трехчлена в задачах с параметрами 312 5.1. Исследование свойств квадратичной функции в зависимости от значений параметра. Теорема Виета 312
5.2. Теоремы о расположении корней квадратного трехчлена на числовой оси 322
5.3. Смешанные задачи 337
6. Использование различных свойств функций и графических иллюстраций 353 6.1. Область определения функции, монотонность, периодичность, чётность и нечётность 353
6.2. Множество значений функции, промежутки знакопостоянства и монотонности 360
6.3. Функциональные уравнения и неравенства 375
6.4. Использование графических иллюстраций 392
7. Метод оценок 413 7.1. Рациональные и иррациональные уравнения и неравенства . . 413
7.2. - Тригонометрические уравнения и неравенства 422
7.3. Уравнения и неравенства с логарифмическими и показательными функциями 442
8. Задачи на доказательство 458 8.1. Тригонометрические задачи на доказательство 458
8.2. Метод математической индукции 468
8.3. Доказательство неравенств и тождеств 477
9. Использование особенностей условия задачи 491 9.1. Оптимизация процесса решения, введение функций, искусственное введение параметров, смена ролей параметра и переменной 491
9.2. Чётность и симметричность по нескольким переменным, исследование единственности решения, необходимые и достаточные условия 500
9.3. Редукция задачи и переформулирование условия 511
9.4. Смешанные задачи 518
Ответы 527
Литература 536
|